Peta karnaugh dapat digunakan untuk menyederhanakan rangkaian logika.
Tetapi sebelum memahami bagaimanan hal tersebut terjadi, perlu dipahami
terlebih dahulu mengenai pasangan, kuad (kelompok berempat), dan oktet
(pasangan berdelapan).
1. Pasangan
Gambar berikut menunjukkan bentuk pasangan pada peta karnaugh :
Peta dari gambar 4.1(a) berisi satu pasangan angka 1 yang saling
berdekatan dalam arah horizontal. Angka 1 pertama menyatakan DCBA , dan
angka 1 yang kedua menyatakan BCDA . Bila kita melihat pada angka 1 pertama
dan angka 1 kedua, ada satu variabel yang mengalami perubahan dari bentuk C
menjadi C. Untuk hal ini kita bisa menghapus variabel yang berubah tersebut,
sedangkan variabel yang tidak berubah diambil sebagai bentuk yang telah
disederhanakan. Sehingga bentuk persamaan yang telah disederhanakan untuk
gambar 4.1(a) adalah : BDAY = . Berikut bukti secara aljabar :
Persamaan sum of minterm untuk gambar 4.1(a) adalah :
BCDADCBAY +=
Faktorisasi menghasilkan :
)( CCBDAY +=
Karena )( CC + =1, maka persamaan di atas dapat direduksi menjadi :
BDAY =
Untuk memudahkan identifikasi, biasanya angka 1 yang berdekatan diberi
tanda lingkaran. Dengan cara seperti ini kita lebih mudah untuk mengenali adanya
variabel dan komplemennya yang tidak muncul lagi dalam persamaan Boole.
Selanjutnya bayangkan kita mengambil peta karnaugh dan menggulungnya
sedemikian rupa, sehingga tepi atas bersentuhan dengan tepi bawah (seperti
terlihat pada gambar 4.1(b), dan tepi kiri bersentuhan dengan tepi kanan (seperti
terlihat pada gambar 4.1(c), maka hal tersebut juga akan membentuk pasangan.
Hal itu disebut dengan penggulungan peta (Rolling).
67
Pada gambar 4.1(b), variabel A berubah menjadi A, sehingga variabel
tersebut bisa dihilangkan. Persamaan yang diambil menjadi bentuk yang telah
disederhanakan adalah minterm yang terdiri dari variabel.variabel yang tetap atau
tidak mengalami perubahan. Maka persamaan yang telah disederhanakan untuk
gambar 4.1(b) adalah : DCBY =
Jika di dalam peta karnaugh terdapat lebih dari satu pasangan, maka
dilakukan operasi OR untuk semua minterm yang telah disederhanakan. Pada
gambar 4.1(c) terdapat dua buah pasangan, pasangan pertama DCBA dan
DBCA , pasangan kedua ABCD dan CDBA . Untuk pasangan pertama dapat
disederhanakan menjadi DBA dan pasangan kedua disederhanakan menjadi
ACD , sehingga persamaan Boole.nya adalah :
ACDDBAY +=
2. Kuad
Kuad adalah kelompok yang terdiri dari 4 buah angka 1 yang berdekatan.
Dalam kenyataannya, kehadiran sebuah kuad berarti terhapusnya dua variabel
beserta komplemennya dari persamaan Boole yang bersangkutan. Berikut contoh
bentuk kuad yang dimungkinkan pada peta karnaugh :
Proses penyederhanaan persamaannya sama dengan yang telah dijelaskan
pada pasangan, yaitu : hilangkan variabel yang berubah atau yang berbeda, dan
ambil variabel yang tetap atau sama. Sehingga dengan cara tersebut :
Persamaan untuk peta gambar 4.2(a) menjadi : BAY =
Persamaan untuk peta gambar 4.2(b) menjadi : CBY =
Persamaan untuk peta gambar 4.2(c) menjadi : DBY =
Persamaan untuk peta gambar 4.2(d) menjadi : DBY =
Pembuktian secara aljabar untuk gambar 4.2(a) :
BA
CCCCBA
CBACBA
DDDDCBADDCBA
DCBACDBADCBADCBAY
=
=++=
+=
=++++=
+++=
1;)(
1;)()(
3. Oktet
Oktet adalah kelompok dari delapan angka 1 yang berdekatan. Sebuah
oktet berarti menghapus tiga variabel dan komplemen.komplemennya dari
persamaan Boole yang bersangkutan. Berikut contoh bentuk kuad yang
dimungkinkan pada peta karnaugh :
Proses penyederhanaan persamaannya juga sama dengan yang telah
dijelaskan pada pasangan dan kuad, yaitu : hilangkan variabel yang berubah atau
yang berbeda, dan ambil variabel yang tetap atau sama. Sehingga dengan cara
tersebut :
Persamaan untuk peta gambar 4.3(a) menjadi : AY =
Persamaan untuk peta gambar 4.3(b) menjadi : DY =
Persamaan untuk peta gambar 4.3(c) menjadi : CY =
Persamaan untuk peta gambar 4.3(d) menjadi : BY =
4. Kelompok yang Bertumpang Tindih (Overlapping)
Dalam melingkari kelompok dalam peta Karnaugh, dimungkinkan untuk
menggunakan angka 1 tertentu lebih dari satu kali., seperti yang terlihat pada
gambar 4.7 berikut :
5. Kelompok Kelebihan (Redundant)
Kelompok kelebihan (redundant dapat dilihat pada gambar 4.8 berikut ini :
Pada gambar 4.5(a), terlihat bahwa ada tiga pasangan yang telah
dilingkari. Persamaan Boole.nya adalah : ABDACDDCBY ++= . Sedangkan
persamaan untuk gambar 4.5(b) adalah : ACDDCBY += . Dapat dilihat dari 2
persamaan tersebut bahwa dalam penyederhanaan, jika angka 1.nya telah habis
dikelompokkan, maka jangan buat pengelompokkan untuk angka 1 kelompok
yang satu dengan angka 1 kelompok yang lain.
6. Keadaan Tak Acuh (Don’t Care Condition)
Angka 1 dan 0 dalam table kebenaran menunjukkan bahwa kombinasi
variable input akan membuat fungsi outputnya bernilai 1 atau 0. Dalam
prakteknya, terdapat kombinasi variable input yang tidak pernah ada. Sebagai
contoh, kode BCD hanya menggunakan kombinsi variable input 0000 sampai
dengan 1001 (mengkodekan angka decimal 0 sampai dengan 9), sedangkan 1010
sampai dengan 1111 tidak boleh muncul dalam operasi normalnya. Sehingga
keluaran dari fungsi 1010 sampai dengan 1111 tidak perlu diperhatikan karena
dijamin tidak akan pernah ada, keadaan ini disebut dengan Keadaan Acuh (Don’t
Care Condition)
Keadaan don’t care tersebut dimanfaatkan dalam Peta Karnaugh untuk
mendapatkan penyederhanaan lebih lanjut pada fungsinya. Untuk membedakan
keadaan don’t care ini dengan 1 dan 0, digunakan tanda silang (X).
Dalam pengelompokan peta Karnaugh, X hanya digunakan untuk
menyumbang pengelompokan angka 1 yang lebih luar. Sehingga X tidak perlu
digunakan jika tidak menyumbang untuk pengelompokan angka 1 yang lebih luas.
Jadi, pemilihannya hanya tergantung pada penyederhanaan yang paling
menguntungkan. Untuk lebih jelasnya dapat dilihat pada contoh 4.4 dan 4.5.
Berdasarkan penjelasan di atas, dapat disimpulkan bahwa langkah.langkah
untuk penyederhanaan rangkaian logika dengan menggunakan peta Karnaugh
adalah :
1. Masukkan output yang bernilai 1 ke dalam peta Karnaugh untuk setiap
minterm yang bersesuaian pada tabel kebenaran.
2. Melingkari oktet, kuad, dan pasangan yang ada pada peta. Jangan lupa
melakukan proses penggulungan dan penandaan kelompok.kelompok
yang bertumpang tindih untuk memperoleh pengelompokan yang sebesar
mungkin. Jika perlu gunakan bit don’t care untuk pengelompokan yang
leih besar.
3. Melingkari sisa.sisa angka 1 yang terisolasi atau yang tidak bisa
dikelompokkan.
4. Menghapus kelompok.kelompok kelebihan (jika ada).
5. Menuliskan persamaan Boole dalam pernyataan operasi OR dari hasil
penyederhanaan semua kelompok yang dilingkari.
Tetapi sebelum memahami bagaimanan hal tersebut terjadi, perlu dipahami
terlebih dahulu mengenai pasangan, kuad (kelompok berempat), dan oktet
(pasangan berdelapan).
1. Pasangan
Gambar berikut menunjukkan bentuk pasangan pada peta karnaugh :
Peta dari gambar 4.1(a) berisi satu pasangan angka 1 yang saling
berdekatan dalam arah horizontal. Angka 1 pertama menyatakan DCBA , dan
angka 1 yang kedua menyatakan BCDA . Bila kita melihat pada angka 1 pertama
dan angka 1 kedua, ada satu variabel yang mengalami perubahan dari bentuk C
menjadi C. Untuk hal ini kita bisa menghapus variabel yang berubah tersebut,
sedangkan variabel yang tidak berubah diambil sebagai bentuk yang telah
disederhanakan. Sehingga bentuk persamaan yang telah disederhanakan untuk
gambar 4.1(a) adalah : BDAY = . Berikut bukti secara aljabar :
Persamaan sum of minterm untuk gambar 4.1(a) adalah :
BCDADCBAY +=
Faktorisasi menghasilkan :
)( CCBDAY +=
Karena )( CC + =1, maka persamaan di atas dapat direduksi menjadi :
BDAY =
Untuk memudahkan identifikasi, biasanya angka 1 yang berdekatan diberi
tanda lingkaran. Dengan cara seperti ini kita lebih mudah untuk mengenali adanya
variabel dan komplemennya yang tidak muncul lagi dalam persamaan Boole.
Selanjutnya bayangkan kita mengambil peta karnaugh dan menggulungnya
sedemikian rupa, sehingga tepi atas bersentuhan dengan tepi bawah (seperti
terlihat pada gambar 4.1(b), dan tepi kiri bersentuhan dengan tepi kanan (seperti
terlihat pada gambar 4.1(c), maka hal tersebut juga akan membentuk pasangan.
Hal itu disebut dengan penggulungan peta (Rolling).
67
Pada gambar 4.1(b), variabel A berubah menjadi A, sehingga variabel
tersebut bisa dihilangkan. Persamaan yang diambil menjadi bentuk yang telah
disederhanakan adalah minterm yang terdiri dari variabel.variabel yang tetap atau
tidak mengalami perubahan. Maka persamaan yang telah disederhanakan untuk
gambar 4.1(b) adalah : DCBY =
Jika di dalam peta karnaugh terdapat lebih dari satu pasangan, maka
dilakukan operasi OR untuk semua minterm yang telah disederhanakan. Pada
gambar 4.1(c) terdapat dua buah pasangan, pasangan pertama DCBA dan
DBCA , pasangan kedua ABCD dan CDBA . Untuk pasangan pertama dapat
disederhanakan menjadi DBA dan pasangan kedua disederhanakan menjadi
ACD , sehingga persamaan Boole.nya adalah :
ACDDBAY +=
2. Kuad
Kuad adalah kelompok yang terdiri dari 4 buah angka 1 yang berdekatan.
Dalam kenyataannya, kehadiran sebuah kuad berarti terhapusnya dua variabel
beserta komplemennya dari persamaan Boole yang bersangkutan. Berikut contoh
bentuk kuad yang dimungkinkan pada peta karnaugh :
Proses penyederhanaan persamaannya sama dengan yang telah dijelaskan
pada pasangan, yaitu : hilangkan variabel yang berubah atau yang berbeda, dan
ambil variabel yang tetap atau sama. Sehingga dengan cara tersebut :
Persamaan untuk peta gambar 4.2(a) menjadi : BAY =
Persamaan untuk peta gambar 4.2(b) menjadi : CBY =
Persamaan untuk peta gambar 4.2(c) menjadi : DBY =
Persamaan untuk peta gambar 4.2(d) menjadi : DBY =
Pembuktian secara aljabar untuk gambar 4.2(a) :
BA
CCCCBA
CBACBA
DDDDCBADDCBA
DCBACDBADCBADCBAY
=
=++=
+=
=++++=
+++=
1;)(
1;)()(
3. Oktet
Oktet adalah kelompok dari delapan angka 1 yang berdekatan. Sebuah
oktet berarti menghapus tiga variabel dan komplemen.komplemennya dari
persamaan Boole yang bersangkutan. Berikut contoh bentuk kuad yang
dimungkinkan pada peta karnaugh :
Proses penyederhanaan persamaannya juga sama dengan yang telah
dijelaskan pada pasangan dan kuad, yaitu : hilangkan variabel yang berubah atau
yang berbeda, dan ambil variabel yang tetap atau sama. Sehingga dengan cara
tersebut :
Persamaan untuk peta gambar 4.3(a) menjadi : AY =
Persamaan untuk peta gambar 4.3(b) menjadi : DY =
Persamaan untuk peta gambar 4.3(c) menjadi : CY =
Persamaan untuk peta gambar 4.3(d) menjadi : BY =
4. Kelompok yang Bertumpang Tindih (Overlapping)
Dalam melingkari kelompok dalam peta Karnaugh, dimungkinkan untuk
menggunakan angka 1 tertentu lebih dari satu kali., seperti yang terlihat pada
gambar 4.7 berikut :
5. Kelompok Kelebihan (Redundant)
Kelompok kelebihan (redundant dapat dilihat pada gambar 4.8 berikut ini :
Pada gambar 4.5(a), terlihat bahwa ada tiga pasangan yang telah
dilingkari. Persamaan Boole.nya adalah : ABDACDDCBY ++= . Sedangkan
persamaan untuk gambar 4.5(b) adalah : ACDDCBY += . Dapat dilihat dari 2
persamaan tersebut bahwa dalam penyederhanaan, jika angka 1.nya telah habis
dikelompokkan, maka jangan buat pengelompokkan untuk angka 1 kelompok
yang satu dengan angka 1 kelompok yang lain.
6. Keadaan Tak Acuh (Don’t Care Condition)
Angka 1 dan 0 dalam table kebenaran menunjukkan bahwa kombinasi
variable input akan membuat fungsi outputnya bernilai 1 atau 0. Dalam
prakteknya, terdapat kombinasi variable input yang tidak pernah ada. Sebagai
contoh, kode BCD hanya menggunakan kombinsi variable input 0000 sampai
dengan 1001 (mengkodekan angka decimal 0 sampai dengan 9), sedangkan 1010
sampai dengan 1111 tidak boleh muncul dalam operasi normalnya. Sehingga
keluaran dari fungsi 1010 sampai dengan 1111 tidak perlu diperhatikan karena
dijamin tidak akan pernah ada, keadaan ini disebut dengan Keadaan Acuh (Don’t
Care Condition)
Keadaan don’t care tersebut dimanfaatkan dalam Peta Karnaugh untuk
mendapatkan penyederhanaan lebih lanjut pada fungsinya. Untuk membedakan
keadaan don’t care ini dengan 1 dan 0, digunakan tanda silang (X).
Dalam pengelompokan peta Karnaugh, X hanya digunakan untuk
menyumbang pengelompokan angka 1 yang lebih luar. Sehingga X tidak perlu
digunakan jika tidak menyumbang untuk pengelompokan angka 1 yang lebih luas.
Jadi, pemilihannya hanya tergantung pada penyederhanaan yang paling
menguntungkan. Untuk lebih jelasnya dapat dilihat pada contoh 4.4 dan 4.5.
Berdasarkan penjelasan di atas, dapat disimpulkan bahwa langkah.langkah
untuk penyederhanaan rangkaian logika dengan menggunakan peta Karnaugh
adalah :
1. Masukkan output yang bernilai 1 ke dalam peta Karnaugh untuk setiap
minterm yang bersesuaian pada tabel kebenaran.
2. Melingkari oktet, kuad, dan pasangan yang ada pada peta. Jangan lupa
melakukan proses penggulungan dan penandaan kelompok.kelompok
yang bertumpang tindih untuk memperoleh pengelompokan yang sebesar
mungkin. Jika perlu gunakan bit don’t care untuk pengelompokan yang
leih besar.
3. Melingkari sisa.sisa angka 1 yang terisolasi atau yang tidak bisa
dikelompokkan.
4. Menghapus kelompok.kelompok kelebihan (jika ada).
5. Menuliskan persamaan Boole dalam pernyataan operasi OR dari hasil
penyederhanaan semua kelompok yang dilingkari.
Komentar
Posting Komentar